偽鈔數學題之自由心證解題法

▲ Martin Gardner, "Entertaining Mathematical Puzzles", Dover Publications, 1986
 

　　最近很流行的偽鈔數學題，這題目的古老程度大概跟三十元住旅館差不多。總之題目大概是這樣的：
 
　　有個年輕人向鞋店某甲買鞋，鞋的成本是15元，標價21元，年輕人掏出50元買鞋，鞋店店員因為沒零錢，用年輕人的50元和鄰居換50元零錢，找給年輕人29元，無奈鄰居發現年輕人的50元是假鈔，鞋店只好再退還鄰居50元，請問鞋店交易損失了多少錢？
 
　　看到題目裡面還有五十元鈔票，就知道這題不是年代久遠，就是對岸來的。不過不影響作答，有興趣的看官可以算一算再繼續閱讀。


　　在解答這題之前，我人狂要請看官先回答以下兩個問題：
 
　　1. 你在路邊擺攤賣鞋子，花15元成本批了一雙鞋，預計可賣21元，可是你不注意的時候鞋子被幹走了。請問你損失多少元？
 
　　15元--> A
　　21元--> B
 
　　2. 今天運氣不錯，走在路上撿到50元，你把它放進皮夾。過兩天你去便利商店買飲料，拿五十元出來付帳，卻被店員說「不好意思，這是偽幣」。請問你覺得你是賺到還是虧到？
 
　　虧了五十啊！--> X
　　沒差吧？--> Y
 
　　
 
　　回到原本的題目，根據選擇不同，每個人的答案如下：
　　AX --> 29 + 15 + 50 = 94元
　　AY --> 29 + 15 = 44元
　　BX --> 29 + 21 + 50 = 100元
　　BY --> 29+21 = 50元
 
　　如果看官的答案不在此間，則不在本文的討論範圍之內。我建議再看一次題目，讓眼睛休息十分鐘再來。
 
　　
 
　　沒有標準答案很玄嗎？暫且聽我一一道來。
 
　　首先是第一小題。所有的理工科學生都會回答他們損失了15元，但是經濟學家會跟你說損失了21元：
 
　　經濟學家：「鞋子的成本是15元沒錯，但是你為什麼要賣21元？因為那多出來的6元是店租與雇用自己的費用。今天鞋子被偷了，你不但沒有辦法拿到15元，也沒辦法付店租跟薪水，所以你實質上損失了21元。」
 
　　理工學生：「在鞋子還沒有賣出之前──也就是有人願意花21元買之前，鞋子等同於15元，不多也不少。萬一今天鞋子滯銷沒有賣出去，你也不會說你今天損失了6元啊。」
 
　　經濟學家：「不是這樣的！要是你的攤上就只有那麼一雙鞋，今天賣不出去你就一定付不出店租跟買晚餐，變成要跟別人借。到頭來你還是損失了6元，我們會說這是機會成本。懂嗎？」
 
　　理工學生：「誰擺地攤只賣一雙鞋啊？而且機會成本需要有可以選擇的項目，今天我賣不賣得出去可以選嗎？所以我才會說經濟學家說的話聽聽就好。」
 
　　然後兩邊就打了起來。
 
　　其實在原本的題目比較古早的版本中，根本沒有提到鞋子的成本的事，大概可以猜得出來這是某個理工學生(不是小學生)加進去的吧？
 
　　
 
　　接下來我們來談談在所有的解中都有出現的29元。為了釐清29元的疑慮，我們試著從隔壁老王的角度來看這個問題：
 
　　我老王隔壁的某甲拿了50元來，請我幫他換成零錢。我馬上掏出50塊零錢給他。可是當我準備把這50元收到皮包的時候我覺得怪怪的，一看，果然是偽鈔！我馬上把老王叫回來，拿回一張真的50元鈔票。真是差點就虧大了！
 
　　由老王的證詞我們可以理解，老王根本在這次的事件中沒有任何的獲利或損失──除非這個老王很賤的把50元假鈔拿去騙吃騙喝──換句話說，隔壁老王根本無關得失，存粹只是來糊弄讀者的一個角色。
 
　　回到29元，不管這29元是「由隔壁老王墊付，然後某甲再還給老王」，或是「從某甲的口袋直接拿出來給年輕人」，年輕人都用了「價值等於0元的某東西」，騙走了一雙鞋跟29元，所以不管怎麼算，這29元的損失都可以是確定像變心的女朋友～一去不回來了。
 
　　
 
　　卷頭的第二小題對應到原題的最後一部分。偽鈔是否有價值呢？這個問題非常的有趣，甚至可以對應到人的心理模型上，也是人狂覺得這個問題中最巧妙的設計。
 
　　我們都知道偽鈔可以說是沒有價值的，但是人類有限的記憶與得失心卻可以讓沒有價值的東西產生有價的感情。
 
　　試想下面兩種情況：1. 你寄了一萬元的現金回家，可是兩個月後，你發現這包現金因為地址寫錯被退回到你手上，你的反應是覺得賺到了嗎？ 2. 上班的時候趁午休在外面多晃了半個小時再回公司，月底發薪水的時候，發現剛好有等同於半小時工資的金額是偽鈔，你覺得虧大了嗎？
 
　　事實上是，人對於「得到」、「所有權轉移」的概念構成比我們想像中來得複雜許多。主觀上，我放進口袋的東西就是我的；而當我從口袋拿出的東西被認定為沒那個價值時，我又會覺得這是損失。這個感覺在我認定放進口袋的東西是有價的時候會更被加深。
 
　　旁觀跟主觀的想法也會有差距，尤其是主觀者根本已經忘記當初納入的東西是沒有價值的時候。
 
　　這中間沒什麼對錯，只有不同的觀點。
 
　　
 
　　回到一開始的原題。在剛才的討論中，我們已經可以確定隔壁老王是來亂的，就讓我們把老王移出問題，再看一次題目吧：
 
　　有個年輕人向鞋店某甲買鞋，鞋的成本是15元，標價21元，年輕人掏出50元買鞋，某甲找給年輕人29元，卻在收店的時候發現年輕人的50元是假鈔，請問鞋店交易損失了多少錢？
 
　　嗯，成本15元、售價21元，找錢29元，50元假鈔。所有剛剛討論的要素都還在，只是客官這次答案算多少？